当我们描述物体的运动时，仅知道“运动得有多快”（速率，Speed）往往是不够的。在物理学中，为了精确预测物体未来的位置，必须同时引入方向的概念。速度 \( (\vec{v}) \) 因此被定义为一个矢量物理量，它精确描述了位置矢量随时间变化的快慢和方向。
人类对速度的理解经历了一个从宏观平均到微观极限的认知飞跃。
在一段时间间隔 \( \Delta t \) 内，物体的位置矢量由 \( \vec{r}_1 \) 变为 \( \vec{r}_2 \)，其位移为 \( \Delta \vec{r} \)。平均速度定义为位移与时间的比值：
平均速度反映的是物体在一段时间内的“总体”运动趋势，但它粗糙地忽略了中间过程的波动。
为了描述物体在“某一个时刻”的运动状态，物理学家面临一个逻辑挑战：时刻本身没有长度（\( \Delta t = 0 \)），物体在这一刻也没有位移（\( \Delta \vec{r} = 0 \)）。那么 \( 0/0 \) 是什么？
牛顿和莱布尼茨通过微积分解决了这个问题。瞬时速度被定义为平均速度在 \( \Delta t \) 趋近于零时的极限：
这个定义表明，瞬时速度在数学上是位置矢量对时间的一阶导数（Derivative）。
在一维直线运动中，如果我们绘制“位置-时间”图像（\( x-t \) 图），速度的物理意义可以转化为清晰的几何语言：
在日常生活中这两个词常混用，但在物理学中它们有着严格的区别。速率是标量，仅描述“跑得多快”；速度是矢量，同时描述“往哪跑”。
| 特性 | 速度 (Velocity) | 速率 (Speed) |
|---|---|---|
| 物理属性 | 矢量 (Vector) \(\vec{v}\) | 标量 (Scalar) \(v\) |
| 定义式 | \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\) (位移的变化率) | \(v = \frac{ds}{dt}\) (路程的变化率) |
| 方向性 | 时刻指向物体运动轨迹的切线方向 | 无方向，只有大小（非负值） |
| 关系 | 瞬时速度的大小等于瞬时速率：\( |\vec{v}| = v \) | 平均速度的大小不一定等于平均速率（除非单向直线运动） |
速度概念的确立并非一帆风顺。古希腊哲学家芝诺（Zeno）曾提出著名的悖论：一支飞行的箭，在每一个瞬间都占据着一个确定的空间位置。既然它在每一个瞬间都是静止的，那么所有瞬间的集合也应该是静止的。它是如何运动的？
这个悖论困扰了人类两千年。直到微积分的出现，物理学家才明白：“瞬间”并不是静止的点，而是包含了“变化趋势”的状态。 速度 \( \vec{v} \) 正是这个“变化趋势”的度量。可以说，速度的存在证明了运动在任何时刻都具有连续性。
速度不仅是一个描述运动快慢的物理量，它是微分几何在物理世界的投影。通过将位移矢量对时间求导，我们捕捉到了运动在无限小时间片刻内的本质属性。这一概念是建立牛顿第二定律 \( \vec{F}=m\vec{a} \) 以及整个动力学大厦的基石。