一、 历史背景：亚里士多德的统治
在17世纪以前，自然哲学界普遍奉行亚里士多德（Aristotle）的教条。关于物体的下落，亚里士多德在《物理学》和《论天》中主张，物体下落的速度由其重量（Weight）和介质的阻力（Resistance）共同决定。
其核心观点可以用现代数学语言近似描述为：
这意味着：一个10磅重的铁球，其下落速度应该是一个1磅重铁球的10倍。这一结论符合人们的日常直觉（例如羽毛比石头落得慢），但在真空中（阻力 $R \to 0$）会导致速度无穷大的荒谬结论，且在同种介质中对重物的描述存在根本性错误。
二、 逻辑的瓦解：连结物体悖论
伽利略并未直接从实验入手，而是首先在逻辑上指出了亚里士多德理论的内部矛盾。他在《两门新科学》（1638）中通过借用萨尔维阿蒂（Salviati）之口，提出了著名的思想实验。
归谬法证明（Reductio ad absurdum）
假设有两个物体，重物体 $M$ 和轻物体 $m$，且根据亚里士多德理论，速度 $V_M > V_m$。
- 如果我们将 $M$ 和 $m$ 绑在一起，组成一个新的系统 $(M+m)$。
- 推论A（阻力角度）： 轻物体 $m$ 因为落得慢，会像“刹车”一样拖慢 $M$ 的速度。因此，组合体的速度 $V_{combo}$ 应该介于两者之间： $$ V_m < V_{combo} < V_M $$
- 推论B（重量角度）： 组合体 $(M+m)$ 的总重量显然大于单独的 $M$。根据“越重落得越快”的原则，组合体的速度应该大于 $M$ 的速度： $$ V_{combo} > V_M $$
“只需一次简单的逻辑推演，我们便发现同一个前提导出了两个截然相反的结论（速度既小于 $M$ 又大于 $M$）。这证明前提本身——即速度与重量成正比——是错误的。” —— 伽利略《关于两门新科学的对话》
逻辑的唯一出路是承认：在忽略空气阻力的情况下，所有物体下落速度相同，与重量无关。即 $V_M = V_m$。
三、 假设的修正：速度的定义
推翻旧理论后，伽利略需要建立新理论。但这并非一帆风顺，他在早期（1604年给萨尔皮的信中）曾错误地假设“速度与距离成正比”（$v \propto s$）。
经过深入思考，他发现若 $v \propto s$，则物体在起动瞬间将无法运动。最终，他修正了假设，提出了匀加速运动（Uniformly Accelerated Motion）的正确定义：
即：物体在任意相等的时间间隔内，获得的速度增量是相等的。
四、 实验验证：斜面与水钟
面对自由落体速度极快（几秒内即落地）难以测量的现实难题，伽利略设计了精妙的斜面实验（Inclined Plane Experiment）。
1. 冲淡重力（Diluting Gravity）
伽利略意识到，物体沿光滑斜面下滑的运动，本质上是受重力沿斜面分量驱动的运动。加速度 $a$ 与重力加速度 $g$ 的关系为：
通过减小斜面倾角 $\theta$，可以极大地减小加速度，从而延长运动时间，使当时简陋的计时手段得以应用。
2. 实验装置细节
- 斜面： 使用长约12库比特（约6米）的木槽，内贴羊皮纸以使得摩擦力最小化，尽可能接近理想状态。
- 小球： 使用坚硬、光滑、圆润的青铜球。
- 计时器（水钟）： 伽利略没有秒表，他使用了一个高悬的大水桶，底部有一根细管。在小球滚动的起止瞬间，用手指控制出水口的开闭。通过称量流出水的重量（精度极高），来代表时间 $t$ 的长短。
五、 数据的数学规律
经过数百次重复实验，伽利略分析了时间（水的重量）与小球滚过距离的关系。他发现了如下规律：
1. 时间平方定律
物体从静止开始运动，经过的距离 $s$ 与所用时间 $t$ 的平方成正比：
2. 奇数定律（The Law of Odd Numbers）
为了让这个规律更直观，伽利略指出，如果我们将时间划分为相等的间隔（$t_1, t_2, t_3...$），那么物体在每个连续的时间间隔内通过的距离之比为奇数数列：
第1秒走过的距离：$1$ 单位
第2秒走过的距离：$3$ 单位 （总距离 $4 = 2^2$）
第3秒走过的距离：$5$ 单位 （总距离 $9 = 3^2$）
六、 结论：科学范式的转移
伽利略对落体运动的研究是科学史上的分水岭。他不再满足于亚里士多德式的定性描述（“它为什么要落？”——寻找目的因），而是转向了定量的数学描述（“它是如何落的？”——寻找运动规律）。
他建立的“假设 - 数学推演 - 实验验证”这一套流程，成为了后世物理学研究的标准范式。通过斜面实验，他成功地将物理世界纳入了数学的管辖范围，为牛顿力学的诞生铺平了道路。