摘要：机械波本质上是振动状态在介质中的传播。很多同学在学习波动方程 \( y = A\cos(kx - \omega t) \) 时，容易死记硬背而忽略了其物理来源。本文将通过“平移法”，从简单的质点振动方程出发，一步步严谨推导出波函数的标准形式。
左侧：波源作简谐运动（参考圆旋转）
右侧：振动状态向右传播，形成正弦波形
一、 起点：波源的简谐运动
假设在原点 \( x=0 \) 处有一个波源质点。它做简谐运动（SHM）。根据简谐运动的定义，其位移随时间变化的方程为：
其中：
- \( A \)：振幅 (Amplitude)
- \( \omega \)：角频率 (\( \omega = 2\pi / T \))
- \( \varphi_0 \)：初相位。为简化推导，假设计时开始时质点处于最大位移处，令 \( \varphi_0 = 0 \)。
此时波源方程简化为： \( y_0 = A \cos(\omega t) \)。
二、 核心逻辑：时间的延迟
这是推导中最关键的一步。假设波以速度 \( v \) 向 \( x \) 轴正方向传播。
物理图景：
介质中任意一点 \( x \) 的质点，都在重复波源的动作，只是它比波源晚动了一段时间。
波传到位置 \( x \) 处所需的时间为：
这意味着：\( x \) 处质点在 \( t \) 时刻的位移，等于波源在 \( t - \Delta t \) 时刻的位移。
三、 代入与变形
根据上述逻辑，我们将“滞后时刻” \( t - \frac{x}{v} \) 代入波源方程 \( y_0 = A \cos(\omega t) \)，得到 \( x \) 处质点的波动方程：
这个形式虽然物理意义明确（体现了时空平移），但在计算中不常用。我们需要引入两个重要的波动参数来化简它。
引入波长与波数
将 \( \omega \) 展开进括号内：
此时，我们观察 \( \frac{\omega}{v} \) 这一项：
- 已知 \( \omega = \frac{2\pi}{T} \)
- 已知波速 \( v = \frac{\lambda}{T} \) （波长除以周期）
代入计算：
我们定义这个新的物理量 \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) 为角波数 (Angular Wavenumber)。它的地位与角频率 \( \omega \) 对称：
- \( \omega \) 描述时间上的密集程度（单位时间振动多少弧度）。
- \( k \) 描述空间上的密集程度（单位距离包含多少弧度）。
四、 最终形式与分析
将 \( k \) 代入方程，我们得到了教科书上最经典的一维简谐波标准方程：
或者利用余弦函数的偶函数性质 \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \)，也可以写成：
如何理解这个公式？
- 双重周期性：该函数既是关于时间 \( t \) 的周期函数（周期 \( T \)），也是关于位置 \( x \) 的周期函数（周期 \( \lambda \)）。
- 相位 (Phase)：括号内的整体 \( (kx - \omega t) \) 称为相位。
- 传播方向：
- \( kx - \omega t \)：符号相反，代表波向 \( +x \) 方向传播。
- \( kx + \omega t \)：符号相同，代表波向 \( -x \) 方向传播。
五、 总结
通过这四个步骤，我们建立起了从微观质点振动到宏观波传播的桥梁：
- 源：\( y = A\cos(\omega t) \)
- 流：时间延迟 \( \Delta t = x/v \)
- 合：\( y = A\cos(\omega(t-x/v)) \)
- 定：\( y = A\cos(kx - \omega t) \)