在物理学的世界里，不同的现象往往共享着相同的数学骨架。当我们深入探究力学中的弹簧振子和电磁学中的LC振荡电路时，会发现它们简直就是“双胞胎”。这种同构性不仅帮助记忆，更揭示了宇宙中“惯性”、“回复力”和“能量守恒”的普遍真理。
实时同步演示
弹簧振子系统 (力学)
势能 (Ep) 0%
动能 (Ek) 0%
LC 振荡电路 (电学)
电场能 (Ee) 0%
磁场能 (Em) 0%
注意观察：当弹簧位移最大（速度为0）时，电容电荷最多（电流为0）。两者完全同步。
核心物理量的对应机制
惯性的本质：质量与电感
质量 \(m\) 是物体维持运动状态不变的能力。要改变速度，必须克服质量的惯性。
自感 \(L\) 是电路维持电流不变的能力。电感线圈产生的感应电动势会阻碍电流的变化，这就是“电磁惯性”。
\( m \longleftrightarrow L \)
恢复力的源头：弹簧与电容
劲度系数 \(k\) 越大，弹簧越硬，产生同样位移需要的力越大。
倒数电容 \(1/C\) 对应弹簧的“硬度”。\(C\) 越小（\(1/C\) 越大），电容越“硬”，存入电荷产生的反向电压（恢复力）就越大。
\( k \longleftrightarrow \frac{1}{C} \)
全维度对照表
| 维度 | 弹簧振子 (力学) | LC 振荡电路 (电学) |
|---|---|---|
| 广义坐标 | 位移 \( x \) | 电荷量 \( q \) |
| 广义速度 | 速度 \( v = \frac{dx}{dt} \) | 电流 \( i = \frac{dq}{dt} \) |
| 惯性系数 | 质量 \( m \) | 自感系数 \( L \) |
| 弹性系数 | 劲度系数 \( k \) | 倒数电容 \( \frac{1}{C} \) |
| 势能形式 | \( E_p = \frac{1}{2}kx^2 \) | \( E_e = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C} \) |
| 动能形式 | \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \) | \( E_m = \frac{1}{2}Li^2 \) |
| 周期公式 | \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \) | \( T = 2\pi\sqrt{LC} \) |
严谨证明：数学同构性
通过列写动力学方程，我们可以看到两个系统在数学底层是完全统一的。
1. 弹簧振子 牛顿第二定律
$$ -kx = m \frac{d^2x}{dt^2} \implies \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 $$
2. LC 电路 基尔霍夫电压定律
$$ -L\frac{di}{dt} = \frac{q}{C} \implies \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0 $$
深度解析：
这两个方程都是二阶线性齐次微分方程。只要物理系统的能量在两种形式间（如动能/势能，磁场能/电场能）无损耗地来回转化，其数学描述必然是简谐振动。
能量震荡的四部曲
Step 1: 初始状态 (t=0)
Max Potential
- 力学：弹簧拉至最长，速度为 0。能量全为势能。
- 电学：电容充满电，电流为 0。能量全为电场能。
Step 2: 加速放电 (0 → T/4)
Conversion
- 力学：弹簧回缩，拉力加速物体，势能转动能。
- 电学：电容放电，电流增大，电场能转磁场能。
Step 3: 平衡位置 (t=T/4)
Max Kinetic
- 力学：位移为 0，惯性导致速度最大。
- 电学：电荷为 0，自感导致电流最大。
Step 4: 反向充电 (T/4 → T/2)
Recharge
- 力学：冲过平衡点压缩弹簧，动能转回势能。
- 电学：电流保持方向给电容反充，磁场能转回电场能。