电磁波方程推导与解的形式

01. 初始条件

考虑真空环境（无自由电荷 $\rho=0$，无传导电流 $\mathbf{J}=0$）。此时麦克斯韦方程组简化为：

\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}

02. 旋度的旋度

为了解耦 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$，我们对法拉第定律的两边同时取旋度：

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right)

交换时空导数顺序： $$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) $$

03. 矢量恒等式

利用矢量分析恒等式展开左边（其中 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$）：

\begin{aligned} \text{LHS} &= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} \\ &= \nabla(0) - \nabla^2 \mathbf{E} \\ &= -\nabla^2 \mathbf{E} \end{aligned}

04. 得到波动方程

将右边利用安培定律替换，并令左右相等，消去负号：

\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

对比经典波动方程 $\nabla^2 \psi = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$，我们发现光速为： $$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s} $$

05. 解的具体形式

上述方程最简单的解是单色平面波。假设波沿 $x$ 轴传播，电场沿 $y$ 轴振动：

\mathbf{E}(x,t) = E_0 \cos(kx - \omega t) \hat{\mathbf{j}}

对应的磁场 $\mathbf{B}$ 必然垂直于 $\mathbf{E}$ 和传播方向（即沿 $z$ 轴）：

\mathbf{B}(x,t) = B_0 \cos(kx - \omega t) \hat{\mathbf{k}}

其中 $k$ 为波数，$\omega$ 为角频率。

06. E与B的关系

将解代入麦克斯韦方程（$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$），可得振幅关系：

$$ E_0 = c B_0 $$

这表明：

同相位：$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 同时达到最大值和零点。
正交性：$\mathbf{E} \perp \mathbf{B} \perp \mathbf{k}$（传播方向）。
能量：虽然 $B_0$ 数值小，但两者贡献的能量密度相等。