分离变量法：数学推导全流程

Mathematical Details of Separation of Variables

1. 初始方程

我们从包含 $\psi(r, \theta, \phi)$ 的完整薛定谔方程出发。为了求解，设试探解为乘积形式：

$$ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) \cdot Y(\theta, \phi) $$

2. 径向与角度的分离

Step 1: 代入与归一化

将 $\psi = RY$ 代入原方程，并两边同时除以 $R(r)Y(\theta, \phi)$，利用偏导数的性质，方程变形为：

$$ \frac{1}{R r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{Y r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{Y r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \phi^2} + \frac{2\mu}{\hbar^2}(E - V(r)) = 0 $$

Step 2: 变量解耦

两边乘以 $r^2$ 并移项，使等式左边只含 $r$，右边只含角度：

$$ \underbrace{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu r^2}{\hbar^2}(E - V(r))}_{\text{仅依赖 } r} = \underbrace{-\frac{1}{Y}\left[ \dots \right]}_{\text{仅依赖 } \theta, \phi} = l(l+1) $$

由于变量独立，两边必须等于同一个常数 $l(l+1)$。

3. 角度部分的再次分离

对于角度方程，设 $Y(\theta, \phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)$，代入后两边乘以 $\sin^2\theta$：

Step 3: 方位角分离

$$ \underbrace{\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) + l(l+1)\sin^2\theta}_{\text{仅依赖 } \theta} = \underbrace{-\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2}}_{\text{仅依赖 } \phi} = m^2 $$

这导出了方位角方程 $\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -m^2\Phi$ 和连带勒让德方程。